А. Ю. Считается, что красота математики - в ее истинности. Зачем еще нужно убирать границы между математикой и миром искусства?
А. Ф. В 2012 году вышел очень хороший фильм на эту тему - «Чувственная математика». Его режиссер - Екатерина Еременко, выпускница мехмата, которая потом серьезно занялась кино и сейчас снимает документальные фильмы. «Чувственная математика» показывает математику как шесть чувств, присущих человеку: зрение, вкус, обоняние, осязание, слух, чувство равновесия. Разговор о математике как искусстве, на мой взгляд, - хороший способ довольно простым языком рассказать о внутреннем мире этой захватывающей науки. Фильм, кстати, ориентирован на любого зрителя и, собственно, призван продемонстрировать, зачем нужна математика, почему она сложна и какие представления о мире порождает. В съемках приняли участие шесть математиков, в их числе я. Каждый из нас рассказывал о математике с особой точки зрения. К примеру, я говорил о математике как зрении и объяснил, что зрение выступает нашим главным источником получения информации: оно почти мгновенно, тогда как другие органы чувств значительно более замедлены.
А. Ю. Именно поэтому вы в свое время решили пояснять математические формулы через рисунок?
А. Ф. Да, этот сюжет соприкасается с темой математики и живописи, которая мне близка: в свое время я нарисовал некоторое количество работ, посвященных математике. Изначально они предназначались для лекций - и выяснилось, что студентам удобно иногда продемонстрировать какие-то наглядные неформальные образы, иллюстрирующие сложные понятия математики, чтобы они затем легче и быстрее освоили нетривиальные разделы науки.
А. Ю. Можно ли считать «математические картины» (созданные человеком или компьютером для наглядного выражения математических формул) отдельным разделом искусства?
А. Ф. Сегодня некоторые картины, созданные на основе математических формул, представляют собой некое новое синтетическое искусство. Яркий пример - теория фракталов, когда компьютер превращает в яркие образы бесконечно измельчающиеся «дубликаты», как бы визуализируя красивую математическую науку об итерациях комплексных отображений. Такие «фрактальные картины» сегодня популярны далеко за рамками математики, например в биологии и экономике.
А. Ю. Какие другие разделы искусства близки математику?
А. Ф. Помимо живописи это, конечно, музыка. Неравнодушие математиков к музыке было давно подмечено и стало своего рода профессиональной чертой. У нас на мехмате функционировал клуб ВЕАФ-ТОПАЗ, созданный мной еще в 60-е годы для студентов и аспирантов: там слушали классическую и современную музыку, читали лекции о музыке, композиторах, направлениях, о связи музыки с абстракцией, с математикой. Эта идея вызвала огромный интерес, к нам приходили не только математики, но и физики, биологи, химики. Организаторами выступали не только студенты и аспиранты, но и профессора - были известные музыкальные вечера таких крупнейших ученых, как П. С. Александров, Ю. Н. Смирнов, А. Н. Колмогоров, они выступали перед публикой и рассказывали о музыке и ключевых, на их взгляд, произведениях. Это было абсолютно естественно, интерес к музыке - вне зависимости от конкретных пристрастий - был в нашей среде всеобщим.
А. Ю. Значит, в музыке наиболее просто подобрать художественную, эстетическую метафору к понятиям красоты, гармонии-тем, что наиболее близки математикам?
А. Ф. Математика в значительной мере организует мышление. Скажем, я свои рисунки воспринимаю не столько как художественные работы, сколько как некие фотографии очень интересного мира, в который погружаются математики и ученые других точных наук. Через живопись я старался передать зрителям образы этой скрытой научной вселенной. Поскольку по профессии я математик, у меня сформировалось четко организованное восприятие этого мира. С другой стороны, в математике есть отдельное направление - статистика, теория фракталов, где очень велика роль хаоса. Броуновское движение, сочетание огромного набора случайных событий, которые на первый взгляд не имеют взаимных связей, - хорошая модель хаоса, и упомянутая теория фракталов показывает, насколько этот хаос красив. Об этом есть специальные книги, многие фрактальные образы используются в прикладных науках. В целом же можно сказать, что математика воспитывает логику, а люди с рафинированной логикой начинают видеть некоторые вещи, скрытые от других. Выясняется, что наш мир построен на очень глубоких и красивых связях. Математики могут их разглядеть и стараются по мере сил передать окружающим. Лично я делал это через живопись - и, кажется, замысел удался: мои работы всегда вызывали повышенный интерес, причина которого в том, что они открывают зрителям возможность проникнуть в очень интересную вселенную математики. Подавляющая часть моих работ была создана для прикладных целей, но были и работы вне математического контекста, написанные на основе ассоциаций с древними мифами и легендами; своего рода интеллектуальные вспышки.
А. Ю. В работах каких художников можно увидеть «математический» след - признаки особого склада мышления, свойственного математикам?
А. Ф. Эти особенности ярко проступают, например, в творчестве известного голландского художника Маурица Корнелиса Эшера, в некоторых произведениях Сальвадора Дали.
А. Ю. В известной работе ЖАКА АДАМАРА «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» приводятся результаты опросов, проведенных психологами с целью изучения методов работы математиков. Среди прочего там есть вопросы о значении зрительных образов, о «математических снах» (решении сложной задачи во сне). Какую роль играют зрительные образы в ваших исследованиях?
Французский математик и механик, член Французской академии наук, автор работ «Исследование психологии процесса изобретения в области математики», «Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций», а также двухтомного издания «Элементарная геометрия». В исследованиях активно применял придуманную им систему зрительных образов.
А. Ф. Зрительные образы часто возникают у математиков при доказательствах теорем, причем не только геометрических, но и в теории дифференциальных уравнений, в функциональном анализе и т. д. Такие ощущения знакомы как мне, так и некоторым моим коллегам. Помимо прочего они касались теории чисел, хотя эта область обычно считается далекой от геометрии. У меня лично такие «зрительные идеи доказательств» возникали неоднократно. Например, когда я неожиданно понял, как следует подступиться к решению спектральной проблемы Плато - проблеме существования многомерных спектральных минимальных «пленок»-поверхностей: возник странный на первый взгляд геометрический образ «сложных и длинных усов-щупалец», оказавшийся правильным пониманием скрытой сути данной так называемой стратифицированной вариационной задачи. Аналогичные воспоминания есть у меня и в связи с моими математическими исследованиями гамильтоновых уравнений. Возникающая зрительная картина обычна туманна и напоминает сновидение; как и в сновидении, связи, возникающие между образами, порой кажутся нелепыми и странными. Однако увиденная структура, нечто вроде колышущегося сложного кристалла, иногда помогает связать воедино факты, которые до того казались совершенно чуждыми.
А. Ю. По сути, это проявление способности, которую американский психолог Уильям Джеймс назвал «краевым сознанием» по аналогии с периферическим зрением: подсознательный процесс различения решения проблемы на более глубоком уровне.
А. Ф. Да, в этой связи мысль Уильяма Джеймса, а именно сравнение мышления со зрением, очень правильна. С помощью зрения мы можем быстро получать сведения о постоянно меняющейся окружающей обстановке и адекватно реагировать на нее. Убежден, что без зрения мы не могли бы состояться как разумные существа.
А. Ю. Какова роль интуиции в процессе исследования? Как она взаимодействует с логикой?
А. Ф. Роль интуиции, безусловно, велика. О ней много и глубоко говорил замечательный математик АНРИ ПУАНКАРЕ. О фундаментальной роли зрительных образов высказывался другой великий математик - Давид Гильберт. Например, он писал: «Что касается геометрии, то в ней тенденция к абстракции привела к грандиозным систематическим построениям алгебраической геометрии, римановой геометрии и топологии, в которых находят широкое применение методы абстрактных рассуждений, символики и анализа. Тем не менее и ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии, и притом не только как обладающее большой доказательной силой при исследовании, но и для понимания и оценки результатов исследования». Мысль о том, что наглядность обладает большой доказательной силой, сегодня особенно актуальна. Следовательно, студентов, механиков и физиков всех специальностей, а не только геометров, надо учить наглядному пониманию и геометрической интуиции с самых первых шагов обучения; именно поэтому я предложил ввести у нас на мехмате МГУ новый курс под названием «Наглядная геометрия и топология» как для студентов-математиков, так и для механиков.
Выдающийся французский математик, автор работы «Математическое творчество», где описан процесс открытия им теории автоморфных функций, в котором немаловажную роль сыграло интуитивное озарение после продолжительной кропотливой работы.
А. Ю. В работе «Ценность науки» Анри Пуанкаре писал о двух видах математического мышления - логическом и интуитивном. К какому из них ближе ваш образ мышления?
А. Ф. Я отношу себя в значительной степени к «геометрическим интуиционистам», то есть в математической деятельности пытаюсь сначала «наглядно увидеть» схему, как бы скелет будущих строгих математических построений. При этом следует отметить, что математики сегодня часто работают с так называемыми многомерными объектами, то есть такими, которые нельзя «нарисовать», изобразить в привычном нам трехмерном пространстве, в котором мы живем. Поэтому недаром во многих современных и глубоких математических работах, посвященных многомерной геометрии, активно используется «наглядный жаргон», выработанный при исследовании двумерных и трехмерных образов вроде «разрежем поверхность», «склеим листы», «приклеим цилиндр», «вывернем сферу наизнанку» и т. д. Такая терминология - не прихоть математиков, а своего рода производственная необходимость, поскольку ее употребление и само математическое мышление авторов в терминах этих образов оказываются совершенно необходимыми при доказательстве многих технически невероятно трудных результатов. Но, конечно, логика была и остается основным инструментом математика. После того как «наглядное доказательство» вспыхивает в сознании, его следует превратить в формальный математический текст. Обычно это нелегкий и длинный путь - но необходимый, однако, - чтобы убедить своих коллег и общество в правильности «математических видений».
А. Ю. Откуда появились ваши сомнения относительно датировки истории? Это было следствием внедрения математических (или астрофизических) методов или были другие мотивы?
А. Ф. В детстве я не интересовался историей, а увлекался главным образом математикой и физикой. Интерес к истории возник из недр математики: одно время я занимался вопросом небесной механики, а именно исследованием характера движения Луны вокруг Земли. Мне попалась в руки работа известного американского астрофизика Роберта Ньютона, в которой излагалось любопытное открытие: в X?–?XI веках нашей эры якобы произошло радикальное изменение ускорения Луны. Эффект был обнаружен путем расчетов, опиравшихся на предположительные даты описанных в древних источниках солнечных и лунных затмений. Этот скачок, не получивший никаких объяснений, вызвал большой интерес. В Лондоне была собрана представительная научная конференция, но ни к каким существенными выводами не пришла. В итоге сам Ньютон заявил, что, видимо, скачок ускорения стал следствием действия пока еще не известных нам сил во взаимодействии «Земля - Луна»; было странно, однако, что скачок случился лишь однажды и эти силы более никак себя не проявили. Я перепроверил вычисления Роберта Ньютона и убедился в их правильности, однако возникли сомнения в правильности датировок затмений историками. Важно здесь то, что, работая на мехмате, я слышал о работах ученого Николая Морозова: по его мнению, датировки затмений, на которых настаивают историки, ошибочны; он утверждал, что даты античных затмений на самом деле ближе к нам на сотни, а иногда и тысячи лет. На основании таблиц Морозова я пересчитал вычисления Ньютона и обнаружил, что скачок ускорения Луны исчез. Задача была решена, но тут же у меня и моих коллег возникли другие вопросы, связанные с датировками событий античности. На историческом факультете МГУ к моим доводам не прислушались и, мотивируя это сомнительной научной репутацией Морозова, порекомендовали заниматься не историей, а математикой. Я понял, что нужно разработать новые математические методы датирования событий.
А. Ю. Важен ли для вас эстетический облик эпохи?
А. Ф. Применить понятие эстетики к реальной жизни мне довольно сложно. Меня больше интересовало развитие страны с содержательной точки зрения - происходящие события, скрытые и явные их мотивы и механизмы. Эстетика же предполагает созерцание произведения в немного отстраненном состоянии, способствующем рефлексии. Эпоха для меня - документальный сюжет, и потому при ее оценке мое чувство эстетики заторможено; конечно, реальные события волнуют меня и моих коллег, но это эмоции наблюдателя, очевидца, участника событий. Прошлое и настоящее - это история борьбы, побед, обманов и проигрышей, биографии сотен тысяч людей; что-то, стоящее не на одном уровне с эстетикой, а над ней.
А. Ю. То есть к современности сложно подобрать художественную метафору?
А. Ф. Мне - сложно.
А. Ю. Вы сказали, что при написании картин вдохновлялись образами прошлого. Какие эпохи вас привлекали в наибольшей степени?
А. Ф. С точки зрения эстетики при взгляде в прошлое, конечно, возникают те или иные предпочтения. Объяснить это просто: взгляд в прошлое меньше связан для нас с современной политикой, современными эмоциями, место которых занимает эстетика. С этой точки зрения люди привыкли оценивать прошлое. Кому-то нравятся памятники Италии или Мексики, кому-то - музыкальные произведения Германии, потому что события тех времен уже никого не затрагивают лично. Я - не исключение. Мне очень интересны живописные произведения эпохи Возрождения, Средних веков, искусство Германии, живопись Древней Руси. Но меня всегда больше привлекала перспектива понять подлинные механизмы событий, в то время как эстетика - это своего рода оформление, остающееся нам в качестве видимого образа. За ним стоят очень глубокие социальные движения, которые интриговали меня в большей степени, чем внешняя оболочка останков прошлого.
А. Ю. Занимались ли вы исследованием исторических культурных пластов, вопросами эволюции эстетики? Или сфера ваших интересов не выходит за пределы проблем датировки?
А. Ф. История для меня - это прежде всего даты как «скелет» и события как его наполнение. Однако мне очевидна разница, с которой искусство передавало те или иные явления. Например, русская иконопись более спокойна, светла и возвышена, причем даже сцены Апокалипсиса едва ли могут напугать наблюдателя. На Западе все иначе: работы Босха, Брейгеля, других художников, причем не светские, а в основном алтарные, своей мрачностью внушали и по сей день внушают страх и ужас. Есть немало существенных различий в музыке. В целом в искусстве можно найти достаточное количество ярких примеров того, как разное мироощущение приводило к разному эстетическому наполнению психологии. Сама эстетика в нас не заложена, она воспитывается и выстраивается на определенном фундаменте, будучи производной от объективных параметров.
