Глава 7.
ДАТИРОВКА ЗВЕЗДНОГО КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ.
1. ИНФОРМАТИВНОЕ ЯДРО КАТАЛОГА -- ЭТО ХОРОШО ИЗМЕРЕННЫЕ ИМЕННЫЕ ЗВЕЗДЫ.
Анализ звездного каталога Альмагеста, приведенный в главах 2--6, имел своей целью уменьшить широтные ошибки звезд путем компенсации обнаруженной нами в каталоге систематической ошибки.
В итоге мы подтвердили, что претензия составителя Альмагеста на то, что заявленная им точность измерений равняется 10', справедлива по крайней мере в отношении широт большинства звезд из части неба А. Это обстоятельство представляется нам достаточно важным.
Однако датировать каталог Альмагеста можно лишь путем рассмотрения достаточно быстрых и заведомо точно измеряемых звезд. Иначе говоря, для целей датировки нужно иметь оценки индивидуальных ошибок. Полученные нами статистические характеристики не дают и не могут дать никакой информации о том, какие именно звезды измерены точно.
Выбор таких звезд может быть основан лишь на правдоподобных рассуждениях, опирающихся на известные практические приемы измерения координат звезд в древности, см. главу 1. Известно, что в средние века, да и в настоящее время, базисом для измерения координат большинства звезд служат так называемые опорные звезды, число которых мало' по сравнению с числом звезд каталога.
Начнем с того, что повторим некоторые соображения, высказанные в предыдущих главах и которые мы заложим в наш метод датировки.
К сожалению, набора опорных звезд Альмагеста мы не знаем. Известно лишь, что в их число должны входить Регул и Спика, поскольку измерению их координат посвящены специальные разделы Альмагеста. Однако естественно предположить, что особенно тщательно составитель каталога измерял именные звезды. Таких звезд, как уже говорилось, в Альмагесте двенадцать: Арктур, Регул, Спика, Превиндемиатрикс, Капелла, Лира = Вега, Процион, Сириус, Антарес, Аквила = Альтаир, Аселли, Канопус.
В работе [1120] исследован вопрос о том, какие звезды были опорными для Птолемея при наблюдении планет. Оказывается, что это следующие звезды. Сам Птолемей упоминает их как опорные звезды на эклиптике. Таких звезд четыре: Альдебаран = α Tau, Регул, Спика и Антарес. Три из них -- именные в Альмагесте, а именно, Регул, Спика, Антарес. По-видимому, для наблюдения за планетами Птолемею пришлось добавить к ним и Альдебаран. Все эти четыре звезды, кстати, входят в нашу табл.4.3.
Двенадцать именных звезд Альмагеста -- яркие. Они хорошо выделяются среди своих окружений и образуют на звездной сфере удобный базис. Для нас важно, что среди них довольно большая часть обладает заметным собственным движением, а некоторые -- Арктур, Процион, Сириус -- имеют весьма высокую скорость собственного движения.
Семь именных звезд Альмагеста лежат либо в области неба Zod A, либо в непосредственной близости от нее. Это -- Арктур, Спика, Процион, Аселли, Превиндемиатрикс, Регул, Антарес. Девять именных звезд окаймляют область неба A, а именно, к перечисленным семи звездам Альмагеста следует добавить Лиру = Вегу и Капеллу. Таким образом, если даже эти 12 звезд и не являлись опорными, то они, скорее всего, должны были измеряться достаточно тщательно.
Однако, несмотря на вероятную тщательность измерения их координат, звезды эти неравноправны. Наш анализ показал следующее.
1) Канопус является очень южной звездой и на результат измерения его координат большое влияние оказывает рефракция. Поэтому, несмотря на тщательность измерения, его координаты в каталоге заведомо содержат большую ошибку, более 1 градуса.
2) Координаты Превиндемиатрикс, измеренные составителем Альмагеста, нам неизвестны. Известны лишь результаты более поздних измерений [1339].
3) Групповые ошибки в окружениях Сириуса и Аквилы не совпадают с ошибками, найденными нами в главе 6 для остальных звезд. Значение этих ошибок мы определить не в состоянии, поэтому и скомпенсировать их невозможно. Следовательно, найти истинные погрешности измерения этих звезд также невозможно.
Таким образом, для целей датировки каталога Альмагеста у нас остается 8 именных звезд, окружения которых обладают единой групповой ошибкой. Во всяком случае, едина ее составляющая γ. Назовем эти именные звезды \underline{информативным ядром} каталога Альмагеста.
Естественно выдвинуть следующую гипотезу. Если заявленная составителем точность каталога действительно подтверждена, то она должна гарантированно достигаться на информативном ядре каталога, после устранения групповой ошибки.
Эта идея и положена нами в основу метода датировки звездных каталогов.
В то же время совершенно не очевидно, можно ли с помощью информативного ядра получить датировку звездного каталога. Несмотря на то, что нам удалось восстановить истинные значения случайных ошибок каталога Альмагеста путем компенсации групповых ошибок, непонятно, - достаточно ли мала остаточная ошибка для вычисления искомой даты. Кроме того, хотя мы и доказали идентичность групповых ошибок в окружениях звезд, входящих в информативное ядро каталога, но отсюда, вообще говоря, не следует, что и для конкретных звезд из ядра каталога индивидуальная ошибка такова же. Конечно, возможность такого рассогласования выглядит неестественной. Центральная звезда окружения, по-видимому, должна иметь тот же характер ошибки, что и ее ближайшее окружение. Однако, строго говоря, гипотеза о подобном рассогласовании имеет право на существование. Не следует также исключать и возможности неточного определения, с погрешностью более 10', координат звезды из информативного ядра каталога.
Все это говорит о том, что если все же будет найден момент времени, в который выполнена выдвинутая нами гипотеза, то это будет служить дополнительным доказательством истинности предпосылок, полученных статистическим путем.
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О ДАТИРОВКЕ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА ПО ИЗМЕНЕНИЮ КООРДИНАТ ИМЕННЫХ ЗВЕЗД.
В разделе 1 выделена группа звезд, которую мы назвали информативным ядром Альмагеста. Ее поведение будет подробно рассматриваться далее. Здесь же мы проанализируем поведение совокупности всех 12 именных звезд Альмагеста. Это предварительное изучение, во-первых, наглядно показывает, насколько улучшаются точностные свойства каталога Альмагеста после компенсации в нем систематической ошибки. Во-вторых, дает дополнительное обоснование того факта, что 3 именных звезды из 12, -- а именно, Канопус, Сириус и Аквила = Альтаир, -- нарушают однородность всей выборки. Выясняется, что по отношению к остальным именным звездам эти три звезды являются "выбросами". Ниже при исследовании всей совокупности 12 именных звезд Альмагеста мы используем координаты звезды Превиндемиатрикс из [1339], вычисленные, по-видимому, Галлеем. Обозначим через Δ Bi(t, γ, φ) разность между широтой i-й звезды информативного ядра Альмагеста после компенсации систематической ошибки (γ, φ) и ее истинной широтой, рассчитанной на эпоху t.
СООБРАЖЕНИЕ 1. Посмотрим, как соотносится точность широт именных звезд каталога Альмагеста с ценой деления шкалы этого каталога (а именно, 10') в предположении, что глобальных систематических ошибок каталог не содержит. Табл.7.1 включает величины абсолютных широтных невязок всех 12 именных звезд Альмагеста в зависимости от предполагаемой датировки t. В первом столбце после имени звезды указан в скобках ее номер в Альмагесте (номер Байли). Величины широтных невязок даны в дуговых минутах.
Из табл.7.1 видно, что для 7 из 12 именных звезд Альмагеста широтная невязка при всех возможных значениях датировки t превышает границу 10'. В столбцах, соответствующих скалигеровской датировке Альмагеста 100 годом н.э. (якобы эпоха Птолемея) и 200 годом до н.э. (якобы эпоха Гиппарха), обращает на себя внимание прежде всего то, что ошибка в координате Арктура исключительно велика, а именно 30' - 40'. Удивительно, что самую заметную и самую яркую звезду северного полушария неба Птолемей (или Гиппарх) наблюдал существенно хуже всех остальных звезд. Далее, из текста Альмагеста следует, что координаты звезды Регул измерялись при составлении каталога несколько раз и что эта звезда заведомо являлась одной из опорных точек для измерения координат всех остальных звезд каталога. Естественно ожидать, что координаты Регула измерены Птолемеем с максимально возможной точностью и поэтому широтная невязка для нее должна быть меньше 10'. Заметим, что для другой яркой звезды на эклиптике, а именно, для Спики, -- координаты которой Птолемей также измерял отдельно на первоначальном этапе, а затем использовал ее как опорную (см. главу VII.2 Альмагеста [1358]), - широтная невязка не превосходит 5', то есть не превосходит половины цены деления шкалы каталога.
Учтем теперь систематическую ошибку, найденную нами в Альмагесте, см. главу 6. Так как составляющая γ этой ошибки меняется слабо при изменении даты t от начала нашей эры до средних веков, а к изменению φ картина мало чувствительна, то мы возьмем значения γ0=21', φ0=0. Значение γ0=21' является средним значением γ(t) для t из априорного интервала.
Построим табл.7.2, аналогичную табл.7.1, с той лишь разницей, что при вычислении широтных невязок теперь учитывается и компенсируется систематическая ошибка в координатах всех звезд, которая задается параметрами γ0=21' и φ0=0.
Сравнение табл.7.2 с табл.7.1 показывает, что точностные свойства координат именных звезд Альмагеста после компенсации систематической ошибки резко улучшились сразу при всех возможных датировках. Широты Регула и Спики оказываются измеренными с точностью до 5' при любой предполагаемой датировке от начала нашей эры до позднего средневековья. Это вполне соответствует тому вниманию, которое уделено этим двум звездам в Альмагесте. См. главу VII.2 в издании [1358]. Более того, при датировке в интервале 6 ≤ t ≤ 10, -- то есть от 900 года н.э. до 1300 года н.э., -- невязка по широте для 8 из 12 именных звезд не превосходит 10' -- цены деления шкалы каталога. Это как раз те звезды, которые входят в часть A неба, обнаруженную нами в главе 6 при статистическом анализе всей совокупности звезд каталога Альмагеста.
Естественно, приведенные рассуждения требуют уточнения. В частности, необходимо исследовать и другие значения параметров γ и φ. Подробные расчеты и более точные утверждения содержатся ниже в данной главе.
СООБРАЖЕНИЕ 2. Дополнительную информацию о дате составления каталога Альмагеста могут дать следующие соображения. Рассмотрим для каждого момента t и для всех значений γ и φ совокупность широтных невязок Δ Bi(t, γ, φ) некоторого множества E звезд Альмагеста, 1 ≤ i ≤ n. Построим на этой совокупности эмпирические функции распределения ошибки в широте звезд множества E: Ft, γ, φ(x) = (1/n) # {i:|Δ Bi(t, γ, φ)| ≤ x}, где n -- число звезд в множестве E. Сравнивая эти функции распределения между собой при различных значениях t, γ, φ, можно попытаться подобрать такой набор значений этих параметров, при котором ошибки в широте звезд из совокупности E будут наименьшими, в стохастическом смысле. В качестве меры различия ошибок при различных t, γ, φ возьмем среднее значение их разностей. Конечно, имея лишь 12 наблюдений, делать какие-либо количественные выводы мы не можем, поэтому здесь речь пойдет лишь о качественной картине "в первом приближении".
Указанная мера различия наглядно представляется как площадь, заключенная между графиками функций распределения 
и 
, изображенными на одном чертеже. При этом площадь каждой из областей, заключенных между этими графиками, надо брать с соответствующим знаком, зависящим от того, какая из двух функций ограничивает данную область справа, а какая - слева, рис.7.1
. Та функция распределения
, которая находится, в среднем, левее остальных функций Ft, γ, φ, отвечает наименьшим ошибкам в широте звезд множества E. Дату t0 и значение систематической ошибки (γ0, φ0) в этом случае естественно рассматривать как приближения для истинной даты наблюдений и реальной систематической ошибки, сделанной наблюдателем.
Проиллюстрируем сказанное на примере другого известного звездного каталога второй половины XVI века -- каталога Тихо Браге. Рассмотрим в качестве информативного ядра набор из 13 именных звезд в каталоге Тихо Браге. Мы вычислили эмпирические функции распределения Ft, γ, φ при γ=φ=0 и трех различных значениях t: t=3 -- то есть для 1600 года н.э., t=3,5 - то есть для 1550 года н.э., и t=4 -- то есть для 1500 года н.э. Результат приведен на рис.7.2
. Из этого рисунка хорошо видно, что без учета возможной систематической ошибки в каталоге Тихо Браге (γ=φ=0) оптимальной датировкой каталога является эпоха t=3,5, то есть примерно 1550 год н.э. В самом деле, именно при такой датировке каталога, ошибки в широте выбранных 13 именных звезд будут наименьшими, в указанном выше смысле. Дата 1550 год действительно близка к известному времени составления каталога Тихо Браге, а именно, второй половине XVI века.
Приведем список этих 13 звезд из каталога Тихо Браге. В первую очередь, это Регул, Спика, Арктур, Процион, Сириус, Лира = Вега, Капелла, Аквила и Антарес, являющиеся именными звездами также и в Альмагесте. Кроме того, имеются еще четыре звезды: Каф = β Cas, Денебола = β Leo, Поллукс = β Gem и Шиат = β Peg.
Рассмотрим теперь эмпирические функции распределения Ft, γ, φ для множества звезд E, состоящего из 12 именных звезд Альмагеста, см. раздел 1. На рис.7.3
приведены графики этих функций для t=5 -- то есть для 1400 года н.э., t=10 -- то есть для 900 года н.э., t=18 -- то есть для 100 года н.э. и t=20 -- то есть для 100 года до н.э., при различных γ. Значение φ везде взято равным нулю, поскольку к изменению φ картина мало чувствительна. Значения t=10, то есть 900 год н.э., и γ=21' являются оптимальными, то есть, приводят к наименьшим ошибкам.
Полученная картина поведения графиков Ft, γ, φ для Альмагеста мало чувствительна к изменениям в составе именных звезд. Приведем для сравнения эмпирические функции распределения для использованных в примере с каталогом Тихо Браге 13 звезд, взяв на этот раз их координаты из Альмагеста, рис.7.4
. Значения t=10, γ=21' остаются оптимальными и для этого списка звезд. На рис.7.4 отчетливо проявляется разница между значениями γ=21' и γ=0, уже отмеченная выше, а именно, вся совокупность графиков, соответствующих значению γ=21', лежит левее, -- и, следовательно, отвечает меньшим ошибкам, -- чем совокупность графиков при γ=0. Другими словами, значение γ=21' "лучше", чем γ=0, при всех датах t из априорного интервала.
СООБРАЖЕНИЕ 3. В заключение обсудим вопрос о возможности расширения списка именных звезд Альмагеста, как основы для датировки по собственным движениям. Но так, чтобы точностные свойства координат (или хотя бы только широт) расширенного списка звезд не ухудшались. На первый взгляд естественно взять в качестве такого расширения список всех звезд, получивших к настоящему времени собственные имена, табл.П1.2 (или табл.П1.3) в Приложении 1. Имена звездам давали, в основном, в средние века, но продолжали делать это и в XVII--XIX веках. Не исключено, что многие из них имели особое значение для составителя каталога Альмагеста. Далее, мы выберем из списка в табл.П1.2 в Приложении 1 не все звезды, а лишь те, имена которых набраны в [1197] большими буквами. Мы сохранили это выделение большими буквами и в нашей табл.П1.2 в Приложении 1. Большими буквами в [1197] набраны наиболее знаменитые из именных звезд. Таких звезд оказалось 37. Они перечислены в табл.7.3.
Оказалось, однако, что такое расширение информативного ядра Альмагеста резко ухудшает точность координат выборки. И что особенно важно, ухудшается точность широт. Рассмотрим "расширенное ядро", состоящее из 37 звезд Альмагеста, перечисленных в табл.7.3. На рис.7.5
видно, как ведет себя среднеквадратичная невязка для этих 37 звезд в зависимости от предполагаемой датировки Альмагеста. При подсчете этой невязки мы, для повышения надежности, допускали вариацию расчетной величины систематической ошибки по γ в пределах ±5' с шагом в 1 минуту. По параметру β сделан перебор в пределах ± 30' с шагом в 1 минуту.
| № по BS4, BS5 |
№ Байли | Величина звезды по BS5 |
(1900) [1197] | (1900) [1197] | Величина по Альмагесту |
Современное обозначение звезды и ее старое собственное имя, набранное в списке из Bright Stars Catalogue [1197] большими буквами (что указывает на особую известность этой звезды в прошлом) |
5340 |
110 | -0.04 |
-1.098 | -1.999 | 1 | 16Alp Boo (Arcturus) |
1708 |
222 | 0.08 | +0.080 | -0.423 | 1 | 13Alp Aur (Capella) |
3982 |
469 | 1.35 | -0.249 | +0.003 | 1 | 32Alp Leo (Regul) |
2943 |
848 | 0.38 | -0.706 | -1.029 | 1 | 10Alp CMi (Procyon) |
5056 |
510 | 0.98 | -0.043 | -0.033 | 1 | 67Alp Vir (Spica) |
6134 |
553 | 0.96 | -0.007 | -0.023 | 2 | 21Alp Sco (Antares) |
7001 |
149 | 0.03 | +0.200 | +0.285 | 1 | 3Alp Lyr (Lyra=Vega) |
3449 |
452 | 4.66 | -0.103 | -0.043 | 4-3 | 43Gam Cnc (Aselli) |
| 15 | 315 | 2.06 | +0.137 | -0.158 | 2-3 | 21Alp And (Alpheratz) |
| 21 | 189 | 2.27 | +0.526 | -0.177 | 3 | 11Bet Cas (Caph) |
| 188 | 733 | 2.04 | +0.232 | +0.036 | 3 | 16Bet Cet (Denedkaitos=Diphda) |
| 337 | 346 | 2.06 | +0.179 | -0.109 | 3 | 43Bet And (Mirach) |
| 617 | 375 | 2.00 | +0.190 | -0.144 | 3-2 | 13Alp Ari (Hamal) |
1231 |
781 | 2.95 | +0.057 | -0.110 | 3 | 34Gam Eri (Zaurak) |
1457 |
393 | 0.85 | +0.065 | -0.189 | 1 | 87Alp Tau (Aldebaran) |
1791 |
400 | 1.65 | +0.025 | -0.175 | 3 | 112Bet Tau (Elnath) |
2491 |
818 | -1.46 |
-0.545 | -1.211 | 1 | 9Alp CMa (Sirius) |
2890 |
424 | 1.58 | -0.170 | -0.102 | 2 | 66Alp Gem (Castor) |
2990 |
425 | 1.14 | -0.627 | -0.051 | 2 | 78Bet Gem (Pollux) |
4057 |
467 | 2.61 | +0.307 | -0.151 | 2 | 41Gam1 Leo (Algieba) |
4301 |
24 | 1.79 | -0.118 | -0.071 | 2 | 50Alp UMa (Dubhe) |
4534 |
488 | 2.14 | -0.497 | -0.119 | 1-2 | 94Bet Leo (Denebola) |
4660 |
26 | 3.31 | +0.102 | +0.004 | 3 | 69Del UMa (Negrez) |
4905 |
33 | 1.77 | +0.109 | -0.010 | 2 | 77Eps UMa (Alioth) |
4914 |
36 | 5.60 | -0.238 | +0.057 | 3 | 12Alp1 CVn (Cor Caroli) |
5054 |
34 | 2.27 | +0.119 | -0.025 | 2 | 79Zet UMa (Mizar) |
5191 |
35 | 1.86 | -0.124 | -0.014 | 2 | 85Eta UMa (Alkaid) |
5267 |
970 | 0.61 | -0.020 | -0.023 | 2 | Bet Cen (Agena) |
5793 |
111 | 2.23 | +0.120 | -0.091 | 2-1 | 5Alp CrB (Alphekka) |
5854 |
271 | 2.65 | +0.136 | +0.044 | 3 | 24Alp Ser (Unukalhai) |
6556 |
234 | 2.08 | +0.117 | -0.227 | 3-2 | 55Alp Oph (Rasalhague) |
6879 |
572 | 1.85 | -0.032 | -0.125 | 3 | 20Eps Sgr (Kaus Australis) |
7557 |
288 | 0.77 | +0.537 | +0.387 | 2-1 | 53Alp Aql (Altair) |
7602 |
287 | 3.71 | +0.048 | -0.482 | 3 | 60Bet Aql (Alshaim) |
8162 |
78 | 2.44 | +0.150 | +0.052 | 3 | 5Alp Cep (Alderamin) |
8728 |
1011 | 1.16 | +0.336 | -0.161 | 1 | 24Alp PsA (Fomalhaut) |
8775 |
317 | 2.42 | +0.188 | +0.142 | 2-3 | 53Bet Peg (Scheat) |
Таблица 7.3.
Список быстрых звезд, имеющих, согласно BS4 [1197] старые собственные имена,
которые выделены в BS4 заглавными буквами как имена наиболее знаменитых в средневековье звезд.
Здесь представлены все области звездного неба.
В начало этого списка добавлены 8 звезд информативного ядра Альмагеста,
некоторые из которых не являются быстрыми.
Вычислялось минимальное значение среднеквадратичного отклонения по указанным вариациям параметров γ и β. Из получившегося графика хорошо видно, что минимум хотя и достигается около 400 года н.э., но выражен исключительно слабо. Минимальное значение среднеквадратичной невязки составляет около 18 минут. Если мы допустим вариацию этого значения в пределах 2 минут, то есть всего на 10%, то получаем интервал "датировок" длиной в 1800 лет (!) от 600 года до н.э. до 1200 года н.э. Совершенно ясно, что этот результат неинтересен. Причина очевидна -- в рассматриваемом списке 37 звезд средняя точность измерений Птолемеем слишком низка. Она явно недостаточна для датировки каталога по собственным движениям в этой группе звезд. Причем, такая размытая картина получается при анализе широт, которые в каталоге Альмагеста, как мы знаем, более точны, чем долготы. По долготам картина становится еще более размытой.
На рис.7.6
, рис.7.7
приведены графики зависимости от предполагаемой датировки Альмагеста количества звезд из "расширенного ядра", расчетная ошибка которых по широте не превышает, соответственно, 10 и 20 минут. Ошибка рассчитывалась после компенсации систематической ошибки γ = 20'. На обоих графиках наблюдаются колебания вокруг приблизительно постоянного значения на всем рассматриваемом интервале времени. В 10-минутную окрестность по широте в разные годы попадает от трех до тринадцати звезд. В 20-минутную окрестность попадает от 11 до 16 звезд. Никакой надежной информации о наиболее вероятной датировке каталога из этих графиков извлечь не удается.
На рис.7.8
мы приводим график зависимости среднеквадратичной невязки, аналогичной графику на рис.7.5. Однако на сей раз при подсчете невязки учитывались лишь те звезды, которые при данной предполагаемой датировке Альмагеста получили отклонение по широте менее 30 минут. Видно, что график состоит из кусков пологих парабол. Они имеют минимумы в разные годы на оси времени. Это означает, что в различных частях списка из 37 звезд соответствующие параболы имеют точки минимума, разбросанные по всему историческому интервалу. Обнаружившаяся неустойчивость точек минимума говорит о низкой точности датировки таким способом. Дело в том, что точки минимума многих парабол лежат далеко от истинной даты составления каталога. Поэтому при изменении состава звезд, эти минимумы хаотично распределяются по всему историческому интервалу.
В целом график на рис.7.8 имеет исключительно слабо выраженный минимум в районе 700--1600 годов н.э. Для надежной датировки он непригоден.
Мы рассматривали также и другие возможности расширения информативного ядра Альмагеста. Например, на основе яркости звезд. Почти все они привели к резкому ухудшению точности координат звезд и к практическому исчезновению зависимости характеристик расширенной совокупности от датировки наблюдений. Однако выяснилось, что информативное ядро все-таки допускает естественное расширение без значительного падения точности. Этот вопрос подробно обсуждается ниже.
