Глава 8.
УГОЛ НАКЛОНА ЭКЛИПТИКИ К ЭКВАТОРУ В АЛЬМАГЕСТЕ.
2. ЗОДИАК АЛЬМАГЕСТА И СИНУСОИДА ПЕТЕРСА.
Пункт 1. В книге Петерса и Кнобеля [1339] приведен важный график невязок, который Петерс получил, анализируя каталог Альмагеста. Кривую на этом графике мы называем "широтной синусоидой Петерса". См. [1339], с.6. Эта кривая говорит о наличии в Альмагесте неких систематических ошибок. В этом разделе мы объясним -- в силу каких причин в каталоге Альмагеста появилась "синусоида Петерса".
Пункт 2. Рассмотрим положение эклиптики π при t=18, то есть в 100 году н.э. Отметим на ней точку весеннего равноденствия Q(18). Разобьем эклиптику на 360 градусов, приняв за начало отсчета точку весеннего равноденствия, рис.8.2
. Далее изобразим на небесной сфере черными точками положения реальных звезд в 100 году н.э. Белыми точками изобразим на этой сфере положения тех же звезд, указанные в Альмагесте. Для наглядности на рис.8.2 соответствующие пары точек, одна белая и одна черная, соединены отрезком, чтобы было понятно, какая черная точка изображает белую точку из Альмагеста.
Для каждой такой пары мы можем вычислить разность широт, то есть широтную невязку. Другими словами, мы вычисляем, насколько отличается широта i-й звезды в Альмагесте от реальной широты этой звезды в 100 году н.э. Петерс [1339] рассмотрел с этой точки зрения зодиакальные звезды Альмагеста. Впрочем, по-видимому, не все. Всего в Альмагесте содержится около 350 зодиакальных звезд. Как указано в [1339], с.17, при изучении долгот зодиакальных звезд Петерс выбрал только 218 звезд, причем не указал принцип отбора. Сколько звезд взял Петерс при изучении широт, в труде [1339] не указано. Но можно предположить, что он взял те же звезды, что и при изучении долгот.
Вычислив для каждой звезды из зодиакального списка широтную невязку, изобразим ее на графике. Для этого возьмем долготу звезды, отметим ее на горизонтальной оси, а затем по вертикали отложим величину широтной невязки. В результате на плоскости получится некоторое скопление точек, которое мы условно назовем полем ошибок. Разбив шкалу долгот на отрезки по 10 градусов и усреднив внутри каждого из них, можно построить сглаживающую кривую. Эта кривая показана на рис.8.3
. Ее, в свою очередь, можно приблизить оптимальной синусоидой, по критерию минимума среднеквадратичной невязки.
Аналогичную процедуру можно проделать и для долгот. В результате также получится некоторая сглаживающая кривая, показанная на рис.8.3 пунктирной линией. Об этой кривой мы поговорим позже.
Дадим естественное объяснение этих кривых.
Пункт 3. Начнем с исследования широтной синусоиды Петерса. Имеется естественный механизм, позволяющий объяснить появление систематических ошибок в широтах зодиакальных звезд. Это - ошибка в положении эклиптики наблюдателя по отношению к истинной эклиптике в момент наблюдения, который априори нам неизвестен.
Вернемся снова к рассмотрению эклиптики π(t0) в момент наблюдения t0. На рис.8.4
отмечена точка равноденствия Q(t0), принятая нами за начало отсчета. Выше было построено поле широтных ошибок для t=18. Сделаем то же самое для момента t0 наблюдения звезд из каталога Альмагеста и изобразим соответствующее поле широтных ошибок на рис.8.5
. Сглаживающую кривую обозначим через c(X, K(t0,0,0)). См. пунктир на рис.8.5. Объясним это обозначение. Как и ранее, через X обозначен каталог Альмагеста. Через K(t, β, γ) мы обозначаем реальный каталог K(t), описывающий реальные положения звезд на эпоху t, возмущенный параметрами β и γ. См. главу 6. Таким образом, K(t0, 0, 0) -- это каталог, не подвергнутый случайным возмущениям, и показывающий реальные положения звезд в момент наблюдения t0, нам априори неизвестный.
Как было объяснено в главе 6, чтобы найти оптимальный в среднеквадратичном смысле поворот эклиптики, приводящий к данному полю ошибок, необходимо решить соответствующую задачу регрессии. Для этого нужно использовать в качестве семейства аппроксимирующих кривых двупараметрическое семейство синусоид. Первым параметром в этом семействе является амплитуда синусоиды, а вторым -- ее фаза. Эта задача решена нами в главе 6 как для всего Альмагеста, так и для различных его частей. В том числе и для Зодиака, интересующего нас в данный момент. Оптимальную аппроксимирующую синусоиду мы обозначим через s(X, K(t, 0, 0)). См. сплошную линию на рис.8.5. Параметры синусоиды мы обозначим через A* (амплитуду) и φ* (фазу).
Пункт 4. Стоит обсудить понятие фазы аппроксимирующей синусоиды. Дело в том, что фаза определена лишь с точностью не лучше 15 градусов. Дадим два практически эквивалентных объяснения этого факта. Первое основано на анализе влияния на фазу аппроксимирующей синусоиды ошибки наблюдателя в положении эклиптики. На рис.8.6
изображены следующие объекты. Во-первых, -- истинный экватор в момент наблюдения t0. Этот экватор, как объяснялось выше, можно считать практически совпадающим с экватором наблюдателя. Во-вторых, -- истинная эклиптика на момент t0 и эклиптика наблюдателя.
Мы знаем, что угол между эклиптикой наблюдателя и истинной эклиптикой равен примерно 20'. Это -- ошибка γ наблюдателя. Угол между экватором и эклиптикой равен ε, что приблизительно составляет 23 градуса. При этом неважно, какую именно из двух эклиптик мы в данный момент рассматриваем, поскольку угол между ними мал по сравнению с 23 градусами. Дуга на рис.8.6 изображает ошибку наблюдателя в положении точки весеннего равноденствия. Как мы знаем, эта ошибка может составлять около 10'. Напомним, что 10 минут -- это цена деления каталога Альмагеста. Будем считать, что дуга RQ приблизительно составляет 10'. В этом случае дуговое расстояние WQ составляет приблизительно 10' x sin 20o, то есть около 5'. Тогда дуговое расстояние φ, то есть дуга MQ на рис.8.6, составляет примерно 5' / sin20'. Следовательно, около 15o. Осталось отметить, что дуга MQ изображает в точности фазу аппроксимирующей синусоиды. Мы отсчитываем фазу синусоиды от точки Q(t) весеннего равноденствия на истинной эклиптике π(t).
Итак, минутные возмущения в определении эклиптики наблюдателя порождают градусные возмущения фазы синусоиды, то есть фаза "неустойчива".
Это же обстоятельство можно объяснить в рамках задачи аппроксимации сглаживающей кривой c(X, K(t, 0, 0)) оптимальной синусоидой s(X, K(t, 0, 0)).
Аппроксимируя сглаживающую кривую оптимальной синусоидой, мы достигаем минимума возможной среднеквадратичной ошибки. При этом необходимо допустить некоторую вариацию этого минимума. Дело в том, что, вообще говоря, параметры оптимальной синусоиды не соответствуют в точности фактической ошибке наблюдателя. Допуская 5-минутные вариации минимума среднеквадратичного отклонения, заметим, что изменение на 10 градусов фазы синусоиды с амплитудой 20' меняет ординату любой точки синусоиды не более чем на 5'. Для стандартной синусоиды, -- с амплитудой 1 и фазой 0, -- изображенной на рис.8.7
сплошной линией, отрезок OA примерно равен дуге OB. Дело в том, что отрезок OA мы считаем сейчас достаточно малым, а именно равным приблизительно 1/6 радиана, то есть 10 градусов. В этом случае отрезок AB составляет 1/6 часть амплитуды, то есть приблизительно 3,3'. Таким образом, примерно 3-минутное возмущение среднеквадратичного отклонения может привести к 10-градусному изменению фазы аппроксимирующей, оптимальной синусоиды.
Пункт 5. В предыдущих главах мы уже определили интервал возможных датировок каталога Альмагеста, а именно, мы установили, что t0 лежит в интервале от 6 до 13, то есть примерно от 600 года н.э. до 1300 года н.э. Поэтому особый интерес представляет изучение аппроксимирующих синусоид s(X, K(t0, 0, 0)) именно для этого интервала возможных датировок. Оказалось, что внутри интервала 600--1300 годы н.э. они мало меняются, то есть слабо зависят от t0. Более точно, максимальная амплитуда A* меняется от 26', при t0=6, до 20', при t0=13. При этом фаза φ* изменяется от -17o до -18o, относительно соответствующей точки равноденствия Q(t0) на эклиптике π(t0). Поэтому в качестве "типичного представителя" можно выбрать любую сглаживающую кривую c(X, K(t0, 0, 0)), где t0 -- любое число от 6 до 13. Естественно взять середину временн'ого интервала, а именно значение t0=9.
Покажем, как выглядит сглаживающая кривая c(X, K(t0, 0, 0)) при t0=9 до и после вычитания оптимальной синусоиды. То есть, до и после исключения обнаруженных нами систематических ошибок. На рис.8.8
видно, что сглаживающая кривая c(X, K(t0, 0,0)) при t0=9 близка к синусоиде. Параметры оптимальной синусоиды для t0=9 таковы. Амплитуда равна 24', а фаза - -17o. На рис.8.8 сглаживающая кривая изображена пунктиром. Исключение из каталога X ошибки наблюдателя в определении эклиптики равносильно вычитанию оптимальной синусоиды с параметрами A*=24' и φ*= -17o для t0=9. В результате сглаживающая кривая широтной невязки приобретает вид, показанный на рис.8.8 сплошной линией. Отчетливо видна разница между пунктирной и сплошной кривыми. Последняя колеблется около оси абсцисс и соответствует нулевой средней ошибке наблюдателя в определении положения эклиптики. Ясно, что теперь поле ошибок аппроксимируется вырожденной синусоидой, то есть, попросту, прямой линией, совпадающей с осью абсцисс.
ВЫВОД. В найденном интервале возможных датировок каталога Альмагеста, а именно, 600--1300 годы н.э., после исключения ошибки наблюдателя в определении положения эклиптики, эффекты типа синусоиды Петерса в широтах пропадают.
Пункт 6. Вернемся к синусоиде Петерса в широтах каталога Альмагеста. Так как Петерс в своих вычислениях, возможно, учел не все зодиакальные звезды, мы заново вычислили и построили график, аналогичный графику Петерса для t=18, то есть для 100 года н.э., рис.8.3. При этом мы взяли ВСЕ ЗОДИАКАЛЬНЫЕ ЗВЕЗДЫ АЛЬМАГЕСТА, исключив лишь несколько выбросов с широтной невязкой, превышающей 1,5o. Данные мы брали из труда [1339]. В итоге мы обработали практически все 350 зодиакальных звезд Альмагеста.
Результат наших вычислений показан на рис.8.9
и рис.8.10
, где изображено поле ошибок, по широтам, при t=18, для Зодиака Альмагеста. Это поле представлено 350 точками, разбросанными по плоскости. Сплошная ломаная изображает сглаживающую кривую c(X, K(18,0,0)). Отчетливо видно, что она качественно напоминает кривую Петерса на рис.8.3. В целом поведение нашей уточненной кривой на рис.8.09 аналогично кривой Петерса на рис.8.3. Однако имеются некоторые, не очень большие, различия. Эти отличия, по-видимому, объясняются неизвестным нам принципом отбора зодиакальных звезд, которым руководствовался Петерс.
На рис.8.10 также изображена оптимальная синусоида s(X, K(18, 0, 0)), параметры которой таковы: амплитуда 16', фаза -- -22o. См. главу 6.
Пункт 7. Выше мы рассматривали различные свойства поля широтных ошибок относительно истинного момента наблюдений t0. Теперь посмотрим, как должно выглядеть поле широтных ошибок относительно произвольного момента t, не совпадающего, вообще говоря, с t0. На рис.8.11
изображены:
1) Истинная эклиптика π(t) в момент наблюдения t0.
2) Эклиптика наблюдателя, показанная пунктиром и не совпадающая с π(t0) в силу ошибки, сделанной наблюдателем, составителем каталога Альмагеста.
3) Истинная эклиптика π(t) в любой другой фиксированный момент времени t.
На эклиптиках π(t0) и π(t) отмечены точки весеннего равноденствия Q(t0) и Q(t). Точка N изображает пересечение эклиптик π(t) и π(t0). Расстояние от точки M до эклиптики π(t) достаточно мал'о, а именно, оно не превосходит 20', если |t-t0| не превосходит 2000 лет. Следовательно, поле широтных ошибок относительно эклиптики π(t) должно аппроксимироваться суммой двух синусоид. Первая синусоида, см. пунктир на рис.8.12
, возникает из-за ошибки наблюдателя в момент времени t0. Она подробно обсуждена нами выше. Фаза этой синусоиды относительно точки весеннего равноденствия Q(t) на эклиптике π(t) приблизительно складывается из ее фазы относительно точки весеннего равноденствия Q(t0) (дуга MQ(t0) на рис.8.11) и из дугового расстояния RQ(t). Здесь имеется в виду алгебраическая сумма, то есть сумма со знаками. Дуга RQ(t) равна величине прецессии за время t-t0.
Вторая синусоида st, t0, изображенная на рис.8.12 сплошной линией, возникает из-за отклонения эклиптики π(t) от эклиптики π(t0). Она имеет амплитуду, приблизительно равную 47'' x |t-t0|. См. [1222] или главу 1. Ее фаза определяется по формулам для прецессии из раздела 5 главы 1. Эти формулы взяты из [1222].
Результирующая аппроксимирующая кривая является суммой этих двух синусоид. Эта кривая имеет один локальный максимум и один локальный минимум на окружности, то есть на эклиптике.
Отсюда вытекает следующее простое утверждение. Рассмотрим два момента времени, t0 и t. Тогда сглаживающая кривая c(X, K(t, 0, 0)) приблизительно совпадает с суммой двух кривых: c(X, K(t, 0, 0)) ≈ c(X, K(t0, 0, 0)) + st, t0. Таким образом, слегка огрубляя, можно сказать, что синусоида типа синусоиды Петерса для момента времени t приблизительно слагается из аналогичной синусоиды для момента t0 и синусоиды, отвечающей повороту эклиптики за время t-t0, то есть от t0 до t. Это общее утверждение, справедливое для всех пар t и t0.
Пункт 8. Теперь посмотрим, какая же результирующая аппроксимирующая кривая должна получиться для 100 года н.э., то есть для t=18. Как было только что объяснено, для этого нужно сложить две синусоиды. Первая из них отвечает истинному моменту наблюдения t0, а вторая -- тому моменту времени t, для которого рассчитывается результирующая аппроксимирующая кривая. Возьмем в качестве "истинного времени наблюдения" значение t0=9, то есть примерно 1000 год н.э. Это значение t0 является средней точкой найденного нами интервала возможных датировок для каталога Альмагеста 600--1300 годы н.э., то есть от t=13 до t=6. Первая синусоида, см. пунктир на рис.8.13
, имеет амплитуду 24' и фазу -5o. Эта фаза слагается из -17o, см. дугу MQ(t0) на рис.8.12, и 12o, то есть из прецессии за приблизительно девятьсот лет.
Вторая синусоида, см. тонкую сплошную линию на рис.8.13, отвечает выбору момента t=18, то есть 100 году н.э. См. выше. Ее амплитуда составляет около 47''x9 ≈7', см. выше, а ее фаза равна примерно 160o, см. главу 1. На отрезке от -20o до 160o эта кривая расположена на рис.8.13 ниже оси абсцисс, то есть отрицательна. Складывая две синусоиды, получаем результирующую аппроксимирующую кривую, показанную на рис.8.13 жирной сплошной линией.
Итак, синусоида широтных невязок, обнаруженная Петерсом в предположении, что каталог Альмагеста составлен в 100 году н.э., является суммой двух синусоид, а именно, -- синусоиды для момента наблюдений, возникшей из-за ошибки наблюдателя в положении эклиптики, и синусоиды, возникающей из-за того, что эклиптика 100 года н.э. наклонена относительно эклиптики времени наблюдений.
Пункт 9. В заключение обратимся к долготной синусоиде Петерса, см. пунктирную линию на рис.8.3. Описанный выше механизм объясняет возникновение широтной синусоиды. Однако он слабо влияет на долготы зодиакальных звезд. Следовательно, ошибка наблюдателя в определении эклиптики не влечет за собой появления заметной долготной синусоиды. Тем не менее, слабо выраженная синусоида может появиться и в долготах. Допустим, что средневековый наблюдатель неточно определил положение точек весеннего и осеннего равноденствия, или, -- что в конечном счете то же самое, -- неточно измерил долготы опорных звезд. Заметим, что в отличие от широт, которые всегда отсчитывались от кольца эклиптики астрономического прибора, фиксированного в его конструкции с раз и навсегда сделанной ошибкой, долготы звезд отсчитывались от нескольких различных опорных ярких звезд. Иначе пришлось бы измерять углы, б'ольшие 180o, что крайне неудобно. См. Альмагест, глава VII.3, VII.4 [1358]. Это обстоятельство иллюстрирует рис.8.14
.
Неточность в определении наблюдателем точек равноденствия приведет к тому, что фактически эклиптика будет разделена им на две неравные части точками Q(t0) и R'(t0). Здесь R'(t0) -- ошибочное положение, например, точки осеннего равноденствия, а R(t0) -- истинная точка осеннего равноденствия. Длина дуги RR' может быть небольшой, примерно 10' - 15', то есть находиться в пределах точности Альмагеста. При этом часть долгот зодиакальных звезд наблюдатель мог измерить, сравнивая их с точкой весеннего равноденствия Q, -- то есть с одними опорными звездами, -- а другую часть он мог отсчитывать от точки осеннего равноденствия R', -- то есть относительно других опорных звезд. В результате долготы звезд на участке QmR' будут "сжаты" примерно на 15'. А на участке QnR' -- наоборот, будут "растянуты" примерно на 15'. Следовательно, вычисляя график долготной невязки зодиакальных звезд, мы получим кривую типа синусоиды, рис.8.14. Отметим, что ошибка в 10' - 15' сравнительно невелика. Как раз такую амплитуду имеет долготная синусоида Петерса на рис.8.3.
